Лекция 5. Задачи на собственные значения. Расчет LC-цепи.

Белошапкин В.В.

Содержание

 Решение задачи на собственные значения средствами Matlab. 
Расчет LC-цепи.   
  
   Задачи 



 Решение задачи на собственные значения средствами Matlab. 
Расчет LC-цепи. 
  
     Рассмотрим LC - цепочку , изображенную на рис.1. Отдельное n-ое звено показано на рис.2.


                                          Рис. 1 LC цепь из N ячеек

                                         Рис. 2 Отдельная n-ая ячейка LC цепи 
На рис. 2 введены обозначения : I_n - ток , текущий по n - ой индуктивности, C_n - емкость n - го конденсатора, Q_n - заряд на обкладках n - го конденсатора,
стрелками показаны положительные направления токов.

Э.д.с. на n-ой индуктивности определяется уравнением 5.1.

Продифференцировав обе части уравнения 5.1 по времени получим.

Учитывая, что скорость изменения зарядов на обкладках конденсаторов определяется выра-
жениями 5.3

и подставляя это в 5.2 получим:

Уравнения 5.4 справедливы для всех n=1,2,...N. Следует учитывать, что для рассматриваемой
цепочки, первая ячейка не имеет левого соседа, а последняя ячейка - правого. Окончательно
уравнения движения для всех ячеек могут быть записаны в виде. 

Система уравнений 5.5 представляет полную систему из N уравнений, определяющих
временную эволюцию всех N токов, рассматриваемой LC - цепи. Решения системы
5.5 будем искать в виде:

Подставляя 5.6 в 5.5 преобразуем систему дифференциальных уравнений в алгебраическую.

Систему 5.7 можно представить в матричном виде.

Матрица A имеет вид:

 



     Таким образом решение задачи о колебаниях LC-цепи свелось к решению задачина собственные значения 5.8.
В Матлабе для решения задач на собственные значения применяется функция eig. 
Далее приводится пример программы на языке Матлаб для вычисления собственных частот и 
соответствующих им форм колебаний цепи произвольной длины. 
Программа выводит на экран спектр собственных колебаний, отсортированный 
в возрастающем порядке. Затем предлагаетсяв интерактивном режиме с помощью мыши
просмотреть формы колебаний. Необходимое колебание выбирается щелчком левой кнопки 
мыши. Заканчивается работа программы при нажатии любой другой кнопки мыши.

clear all
global yy%Ввод числа звеньев LC цепи
N=input('N->');
%tic
L=ones(N,1);
C=ones(N+1,1);
%C(N/2)=1000;
%L(N/2)=1000;%Формирование диагоналей матрицы A
d0=ones(N,1)./L.*(ones(N,1)./C(1:N)+ones(N,1)./C(2:N+1)); % main diagonal of A
d1=-ones(N-1,1)./L(1:N-1).*(ones(N-1,1)./C(2:N));     % upper diagonal
d2=-ones(N-1,1)./L(2:N)./C(2:N);            % down diagonal
A=diag(d0,0)+diag(d1,1)+diag(d2,-1);
%toc%вычисление собственных векторов и собственных значений матрицы A
[v,d]=eig(A);
[d1,num]=sort(diag(d)); %to sort diagonal A%интерфейсная часть программы
figure(2);
but=1;
subplot(2,1,1);
plot(d1,'.');
while but==1
[x,y,but]=ginput(1);
xi=round(x);
subplot(2,1,2);
plot(v(:,num(xi)));
subplot(2,1,1);
end
disp('Ok')




  Задачи

1. В приведенном примере программы рассматривается однородная LC - цепочка.

Все L и C равны по 1. Изучите как изменятся результаты при введении неоднородности в

цепочку.

2. Решить задачу о колебаниях LC- цепи , замкнутой в кольцо. (периодические граничные условия)

3. Рассмотреть собственные колебания одномерной цепочки гармонически связанных частиц (рис. 3).

Рис. 3 Свободная цепочка гармонически связанных осцилляторов.

В равовесном состоянии все частицы находятся на расстоянии a друг от друга. При отклонении любой из частиц

от положения равновесия энергия цепочки повышается и в системе возникают колебания. Если ввести обозначение

x_iдля смещения i-ой частицы из положения равновесия, то полная энергия для свободной цепочки может быть записана

в следующем виде

В этом выражении через m _iобозначена масса i-ой частицы, k - коэффициент упругости.

Уравнения движения для каждой частицы имеют вид

Поскольку каждая внутрення частица цепочки взаимодействует с двумя соседями, уравнения движения для таких частиц будут

Для первой и последней частиц цепочки уравнения движения будут такими

для первой частицы, и

для последней. Искать решения уравнений движения будем в виде x_k(t)=x_kexp(iwt), k=1,2...N.

Подставляя это в уравнения движения для всех частиц, получим

Дальнейший ход решения задачи полностью аналогичен лекции после формулы (5.8). Студентам предлагается самостоятельно написать

программу для интерактиного исследовани собственных частот и форм колебаний для случая однородной цепочки, т.е. когда все

массы частиц одинаковы и для простоты равны единице. Коэффициент k также положить равным единице. Как объяснить

наличие нулевой частоты в спектре колебаний?

Исследовать как изменятся решения когда массы частиц будут различными.

3.1 Исследовать собственные колебания цепочки с фиксированными граничными условиями (Рис. 4)

Рис. 4 Цепочка с фиксированными граничными условиями.

В этом случае нулевая и (N+1) частицы считаются жестко закрепленными в пространстве, колебания могут совершать лишь

внутренние частицы цепочки с номерами от 1 до N. Какие характерные изменения в спектре колебаний ?

3.2 Исследовать собственные колебания цепочки с периодическими граничными условиями, моделирующими бесконечный кристалл (Рис. 5).

Рис. 5 Цепочка с периодическими граничными условиями.

Эту цепоку удобно представлять, как цепочку из N частиц, замкнутых в кольцо. Следом за последней N-ой частицей идет 1-ая частица, а

перед первой частицей находится N-ая чатица. Изучить особенности спектра собственных колебаний в этом случае.

previous     next     home